11. NURBS

Neuniformní racionální B-splajn křivky (NURBS - non uniform rational B-spline) jsou dvojím zobecněním B-splajn křivek. Termín neuniformní je odvozen od vzdálenosti uzlů ve smyslu parametru t, která nemusí být u těchto křivek konstantní. Racionalita odpovídá předchozímu výkladu..

Návod na používání appletů

Obr. a applet 11.1 NURBS křivka stupně 3 definována pro uzlový vektor {0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5}

Křivka NURBS je určena n + 1 body řídicího polynomu, uzlovým vektorem U délky m + 1 a stupněm křivky p. Uzlový vektor pro křivku NURBS procházející prvním a posledním bodem řídicího polynomu má tvar :

U = {0, 0, . . . 0, t_p+1, . . . t_m-p-1, b , b , . . . , b }.

( 11.1 )

Hodnoty uzlů musí být neklesající, tedy : t_i+1 >= t_i. Sekvence nul na začátku, stejně jako sekvence posledních hodnot (obvykle voleno b = 1) má násobnost p + 1. Zbývajících hodnot je m + 1. Mezi počtem uzlů m + 1, stupněm křivky p a počtem bodů řídicího polygonu n + 1 platí vztah :

m = n + p + 1.

( 11.2 )

Křivka NURBS je určena vztahem :

,

( 11.3 )

kde w_i je váha i-tého bodu řídicího polygonu a N_i,p(t) jsou normalizované B-splajn bázové funkce určené rekurentním vztahem :

( 11.4 )

Obr. 13.2 Ukázka B-splajn bázových funkcí stupně 0...2

Jiný zápis využívá racionální B-splajn báze:

( 11.5 )

Vztah ( 11.3 ) lze pak zapsat jednodušeji :

( 11.6 )

První derivace NURBS křivky má tvar [Peig91]

.

( 11.7 )

Obr. 11.3 Racionální B-splajn báze

Křivky NURBS mají tyto vlastnosti :

1. Při zadání uzlového vektoru podle vztahu ( 11.1 ) křivky procházejí prvním a posledním bodem řídicího polygonu.
2. Leží v konvexní obálce svého řídicího polygonu, stejně tak jejich jednotlivé segmenty leží v obálkách svých řídicích polygonů. Změna polohy, resp. váhy jednoho bodu má tedy vliv pouze na část křivky.
3. Jsou invariantní vůči transformacím a především vůči rovnoběžnému a středovému promítání.
4. Umožňují přesné vyjádření kuželoseček.
5. Pro uzlový vektor U = {0, 0, . . ., 0, 1, 1, . . ., 1} a pro stejný počet nul a jedniček jsou normalizované B-splajn báze rovny Bernsteinovým polynomům a NURBS je racionální Bézierovou křivkou. Pro hodnoty w_i = 1 je NURBS Bézierovou křivkou.

Zejména čtvrtá vlastnost je důležitá pro tvorbu jednotlivých datových struktur, které reprezentují jak "klasické" geometrické tvary, jako jsou např. kružnice (Obr. 11.4) či parabola, tak i volné (angl. free-form). Nevýhodou je, že reprezentace klasických objektů není jednoduchá.

Obr. 11.4 Kružnice definovaná jako NURBS

Návod na používání appletů

Applety 11.4 Kružnice definovaná jako NURBS

Jak bylo uvedeno, posloupnost uzlů musí být neklesající, ale je možné, aby dva nebo více uzlů mělo stejnou hodnotu - hovoříme o násobnosti uzlů. Násobnost uzlu může zdegenerovat segmentu křivky do jediného bodu.

Vliv násobnosti bodu (zde P₂) na tvar křivky je znázorněn na (Obr. 14.5). Obr. 14.6 pak ukazuje vliv stupně p na křivku.

Návod na používání appletů

Applet pro experimenty :

Návod na používání appletů

Splajn křivky

Použití křivek ve 3D