Předchozí home.gif (1235 bytes) right.gif (1395 bytes)


5. Bézierovy kubiky

    V letech 1959 - 62 používali P. E. Béziere a nezávisle na něm P. de Casteljau tutéž metodu návrhu aproximačních křivek. Jelikož manipulace s vektory u Fergusonových kubik je poměrně nenázorná, je Bézierova metoda podstatně populárnější. Vychází totiž pouze ze zadání řídicího polygonu bodů, který určuje tvar výsledné křivky [Bézi72].

Bézierova kubika je zadána čtyřmi body P0, P1, P2 a P3. Vychází z prvního bodu P0 a končí v bodě posledním P3. Vyklenutí je řízeno body P2 a P3 (Obr. 5.1).

Obr. 5.1 Bézierova kubika

Applet 5.1 Bézierova kubika

Návod na používání appletů

Bézierova kubika je určena vztahem:

( 5.1 )

kde t Î <0,1> a B0, B1, B2, B3 jsou kubické polynomy tvaru:

B0(t) = (1 - t)3,
B1(t) = 3t(1 - t)2,
B2(t) = 3t2(1 - t),
B3(t) = t3.

( 5.2 )

a maticový zápis:

( 5.3 )

bernst-c.gif (3864 bytes)
Obr. 5.2 Kubické Bernsteinovy polynomy

Položíme-li t = 0 a dosadíme do vztahu ( 5.1 ), je P(0) = P0, analogicky pro t =1 je P(1) = P3. Křivka tedy opět prochází krajními body. Zderivujme P(t) a dostaneme

( 5.4 )

Dosazením do tohoto vztahu za t = 0 a t =1 vyplyne, že:

P'(0) = 3(P0 - P1),
P'(1) = 3(P2 - P3).

( 5.5 )

Tečné vektory mají vždy směr spojnice dvojice krajních bodů a velikost mají rovnu trojnásobku vzdálenosti bodů.

Dva Bézierovy oblouky budou spojeny hladce, bude-li zaručena jejich spojitost (tj. poslední bod předchozího oblouku je identický s prvním následujícího, nebo křivka prochází posledním a prvním bodem) a pokud budou identické tečné vektory. Z toho jednoznačně plyne, že druhý bod následující křivky je určen posledními dvěma body křivky předchozí (Obr. 5.2).

Obr. 5.3 Hladké spojení dvou Bézierových kubik

Applet 5.3 Hladké spojení dvou Bézierových kubik

Návod na používání appletů

Applet pro experimenty :

Návod na používání appletů


Catmull-Rom splines Předchozí home.gif (1235 bytes) right.gif (1395 bytes) Obecné Bézierovy křivky