Příspěvky jsou seřazeny chronologicky - nejstarší dole.
Další stránka, předchozí stránka.
Hoj Vojto,
naruseni symetrie proste znamena, ze zacnes s teorii, ktera symetrii ma, a najednou zjistis, ze diky nejakemu mechanismu najednou ta symetrie zmizela - pole uz do sebe nelze otacet, aniz by to zmenilo fyziku. Napriklad elektroslaba symetrie SU(2) x U(1) je narusena spontanne: spontanni naruseni symetrie znamena, ze teorie stale ma symetrii, ale vsechny stavy - vcetne zakladniho stavu (vakuum) tuto symetrii nerespektuji. O tom jsme prece jiz dlouho mluvili - analogie s padajici tuzkou.
Tak napriklad standardni model ma zminenou SU(2) x U(1) symetrii, diky niz ma potencialni energie pro Higgsuv boson tvar hezky soumerneho "klobouku". Potencial je sice symetricky, ale bod uprostred - jediny bod umisteny symetricky - neni stabilni (je maximem, ne minimem), a tak kulicka na klobouk postavena nahodne sklouzne na nahodnou stranu klobouku do doliku. Stale ta symetrie jaksi existuje - klobouk je stale rotacne soumerny - ale pro kulicku je tahle symetrie nanic: vsechny smery jsou sice a priori rovnopravne, ale jeden je nad jine povysen proto, ze prave v tomto smeru kulicka je (coz je analogie toho, ze vakuum si vybralo nejaky konkretni smer pro hodnotu Higgsova pole).
Krome toho se muze symetrie narusit uplne kvantovymi jevy. Pokud nejaky fyzikalni system na klasicke (nekvantove) urovni ma jistou symetrii, ale po zapocteni kvantovych jevu tato symetrie zmizi, mluvime o "anomalii". Pokud symetrie, se kterou jsme zacali, je "kalibracni" (lokalni, muze zaviset na miste, jako napriklad prave SU(2) x U(1) symetrie standardniho modelu), potom by anomalie znamenala katastrofu, inkonzistenci teorie. Anomalie v tech ostatnich (globalnich) symetriich neznamenaji inkonzistenci, ale maji casto zajimave dusledky. Tak napriklad "chiralni symetrie" je symetrie, ktera by v kvantove chromodynamice (veda o kvarcich) znamenala, ze kvarky musi mit nulovou hmotnost. Tahle symetrie je narusena, a proto kvarky (a proton apod.) neco vazi.
Rad bych vedel, co si presne predstavit pod pojmem naruseni supersymetrie. Pripadne i jinych symetrii.
Diky, hezky den!
Ještě bych mohl doplnit, že úlohu lze rozšířit na rozpad fotonu na libovolný počet dlouhovlnějších fotonů, kvůli spinu by měly být realizovatelné jen rozpady na lichý počet fotonů.
Ahoj a pěkné svátky! Pavel
Ahoj všichni,
ta úloha s anihilací a kreací elektron pozitronového páru je dnes již klasickou krásnou ukázkou toho, jak tak prosté zákony, jako je zachování impulsu a energie ovlivňují možnost či nemožnost určitých procesů (v tomto případě jednofotonovou anihilaci či kreaci). Stejné dva zákony vám omezí hypotetickou možnost rozpadu jednoho fotonu na dva dlouhovlnější fotony, je to velice jednoduchá a elegantní geometrická úloha. Naschvál, jaké úhly mezi vzniklými fotony tyto dva zákony připouštějí, jsou možné všechny úhly, nebo jen z nějakého výseku? (výsledek znám, ale myslím, že na to přijdete i sami, je to jednoduché)
Mějte se fajn a ahoj!
Pavel
Vážený pane Hadře, :-)
při opravdové anihilaci elektronu a pozitronu nemůže vzniknout jeden samotný foton: v soustavě těžiště mají elektron a pozitron nulovou hybnost, ale nenulovou energii, ale jeden foton nemůže mít nulovou hybnost (a kdyby měl nulovou, tak musí mít i nulovou energii). Nejpravděpodobnější anihilace je anihilace na dva fotony. Stejně tak k vytvoření elektronu a pozitronu jsou třeba dva fotony. Občas ale při anihilaci elektronu a pozitronu může vzniknout více věcí, například kvark a antikvark (pokud měl elektron a pozitron dost energie), deset fotonů, W-bosony apod., je to ale stále méně pravděpodobné.
Takže máš pravdu, vždyť na to máš také tituly haha. Ještě ale možná stojí za to říci, že v kvantové elektrodynamice je základní interakční vrchol, v němž elektron a pozitron anihilují na jeden foton, ale tenhle foton je vždycky virtuální (myšlený) - tedy nemůže být opravdový a musí se urychleně na něco zase rozpadnout. Ostatní ať mě opraví, jestli v něčem kecám. Přeji hezký den!
Ve škole jsem měli s kámošema takový problém: Já jsem tvrdil, že při anihilaci např. e+ a e- vzniknou dva fotony. Mido tvrdil, že jeden. To samé i při kreaci. Zajímá mě, kdo měl pravdu a proč.
Hilbertův prostor je prostor (množina vektorů, v níž lze sčítat a násobit - obvykle komplexním - číslem apod.) se skalárním součinem. Obvykle ho najdeš v kvantové mechanice, jednotlivé bázové vektory Hilbertova prostoru považuješ za stavy, v nichž může být fyzikální soustava. Tak třeba elektron v atomu může být ve stavu s hlavním kvantovým číslem n=1,2, a proto Hilbertův prostor obsahuje vektory e_1, e_2. Podle tzv. Schrodingerovy rovnice se stav systému (prvek Hilbertova prostoru) vyvíjí v čase. Prvek Hilbertova prostoru můžeš také považovat za vlnovou funkci částic(e) - funkce je prvek prostoru funkcí, kde je skalární součin definován jako integrál ze součinu obou funkcí (jednu komplexně sdružíš).
Kočka je živočich. Existují dva základní druhy, čtyřnohá a dvojnohá kočka. Mluvme bez újmy na obecnosti jen o čtyřnohé, kterou měl doma Erwin Schrodinger, o tzv. Schrodingerově kočce. Byla ve skříni s kladivy na zabíjení, která jsou spouštěna rozpadem radioaktivního jádra. Vlnová funkce jádra se rozpadá postupně, a tak je atom ve stavu kombinace "rozpadlý" a "v celku", a spolu s tím by měla být kočka ve stavu kombinace "zabitá" a "živá". Nikdo ale ještě neviděl kočku, která je takto napůl zabitá, kladiva buď spadla, nebo ne, proto ten problém. Je to jen filosofický problém a Niels Bohr s kamarády (kodaňská škola) dali první vysvětlení, dnes máme trochu modernější vysvětlení, proč člověk vždy nakonec vidí buď živou, nebo mrtvou, ale nikoliv kombinaci.
Eulerovo číslo neboli Eulerova charakteristika chi je přirozené číslo příslušející nějaké varietě, nejjednodušší topologický invariant - není ovlivněn plynulými deformacemi. Tak třeba všechno topologicky podobné sféře má chi=2, torus jakkoliv zdeformovaný má g=0, torus s několika (g) držadly má 2-2g apod. Lze spočítat jako integrál polynomu sestaveného z křivosti. Pro mnohostěn lze spočítat jako počet stěn MINUS počet hran PLUS počet vrcholů, zkus si, Vojto, spočítat, že pro všechny pravidelné mnohostěny (i nepravidelné, ale bez děr) dostaneš dva - například pro krychli 6-12+8, můžeš také spočítat pro mnohostěny s dírou jako torus, vyjde nula. Eulerovo číslo kartézského součinu dvou variet je součinem Eulerových čísel obou apod. Podle teorie strun je počet generací leptonů a kvarků roven polovině Eulerova čísla svinuté 6-rozměrné variety.
Eulerovo číslo lze také získat jako sumu (-1)^d krát b_d, kde b_d je Bettiho číslo. Bettiho číslo je pro danou varietu rovno počtu nezávislých d-rozměrných cyklů = subvariet, které nelze do sebe (ani do bodu) plynule transformovat. Tak například torus má b_0=1 (jeden bod lze vždy přemístit plynule do jiného), b_2=1 (torus samotný je dvojrozměrnou subvarietou sebe samého) a b_1=2 (v toru jsou dvě netriviální nezávislé jednorozměrné smyčky, jedna jde kolem obvodu kola v pneumatice, jedna jde kolem malé kružnice v průřezu pneumatiky). Celkově b_0-b_1+b_2=1-2+1=0, OK pro torus. Hodgeho čísla jsou jaksi zobeněná Bettiho číslo pro případ komplexních variet, kde jdou zavést komplexní souřadnice: v tomto případě lze nezávisle počítat "holomorfní" a "antiholomorfní" dimenze, například pak b_3=h_03+h_12+h_21+h_30, kde h_pq jsou Hodgeho čísla.
Jen tak namátkou pár pojmů, kterým dobře nerozumím: Hilbertův prostor, živá a mrtvá kočka, Bettiho čísla, Eulerova čísla. Přímo se strunami to asi nesouvisí, ale nebylo by od věci to trochu rozvést.
Zdravím a dík
Zdravice Pavle!
Dik za zpravu a ferovost! Fakt tu nejde o zadny velky spor, muzeme se nekdy lisit jen v interpretaci ci kulture. ;-) Impulsmoment se zachovava stejne jako celkovy naboj, takze v principu muzes postulovat superselekcni pravidlo pro oba, pripadne pro zadny (u momentu hybnosti ale muzes vybrat jen jednu slozku a J^2, cili takova konvence zakonite narusuje rotacni symetrii), ale souhlasim s Tebou samozrejme v tom, ze u naboje je to nalehavejsi, protoze stavy s rozdilnym nabojem se chovaji okamzite zcela odlisne, a tak neni na miste je michat. Tohle take zavisi na kontextu, v silnych interakcich tvori proton a neutron "izodublet" - tedy jde o jednu castici (nukleon), ktera muze byt ve dvou nabojovych stavech. Jelikoz jsou v jadre elektromagneticke interakce mnohem slabsi nez silne interakce, michani stavu s ruznym nabojem tu nezni az tak nepripustne - fakticky je uplne stejne prirozene jako linearni kombinace spinu "nahoru" a "dolu". ;-) Elektromagneticka interakce je jen drobna korekce, ktera porusi SU(2) symetrii izospinu (SU(2) symetrie mezi kvarky up,down).
Asi urcite ale nesouhlasim s tim, ze diskretni naboj je zaveden axiomaticky prostrednictvim superselekcniho pravidla. Otazka, zda dovolis michat stavy s ruznym nabojem, je otazka konvence, v principu bys podle pravidel QM (linearita) mel dovolit michani libovolnych stavu, ale
nevnucuji Ti to haha, stejne jako Ti nevnucuji, ze Hilbertuv prostor obsahuje i kombinaci zive a mrtve kocky :-) - ale stejne obsahuje, nehlede na fyzikalni obskurnost takoveho stavu. Ovsem otazka, zda nejaka velicina muze nabyvat diskretnich hodnot nebo spojitych, neni otazka
konvence, ale da se matematicky odvodit z teorie. K Tvemu povidani, ze je superselekcni pravidlo jen nasroubovane, ja ho take beru jen jako neco nasroubovaneho. Smysl ma otazka, ktere stavy v Hilbertove prostoru tvori jednotlive superselekcni sektory: ty jsou dany tim, ze hamiltonian a jine uzitecne operatory maji nulove maticove elementy vuci stavum z ruznych sektoru. Ale "axiom", ze nesmis kombinovat superselekcni sektory, je opravdu jen jakasi nasroubovana "kulturni nadstavba" ci "jedenacte prikazani". ;-)
Ahoj všichni,
musím přiznat, že jsem se nechal zmást představou, že u volných částic mohu plynule měnit rychlost jedné z nich a tím plynule měnit celkový moment. Ano, Luboš má pravdu, že i v tomto případě je celkový moment kvantovaný v tom smyslu, že má diskrétní (celé a polocelé) vlastní hodnoty. Nicméně střední hodnota tohoto impulsmomentu se mění spojitě, takže své předchozí tvrzení musím opravit na následující: střední hodnota impulsmomentu se mění spojitě, zatímco u náboje nejsou stavy s neostrou hodnotou náboje přípustné, tedy střední hodnota náboje se nemění a zůstává stejná (není ji tedy možné na rozdíl od impulsmomentu spojitě měnit). Tedy vlastně tím klíčovým elementem by mělo být superselekční pravidlo, které tyto smíšené stavy pro náboj nedovoluje, a které (to pravidlo) je do teorie zaváděno axiomaticky (jednak právě kvůli zmíněné vlastnosti náboje, pak analogické vlastnosti leptonového číslo, baryonového čísla atd.).
Mějte se hezky a zatím ahoj!
Pavel
Ahoj Pavle, dik za mile pozdravy, preji take hezky den. Opet se omlouvam za upravu, mam blby netscape, ktery zobrazuje pri psani nekonecne dlouhe radky a vubec.
Pavle, stejne si myslim, ze nas/me chces provokovat. ;-) Moment hybnosti je VZDYCKY kvantovany a plati to pro libovolny moment hybnosti, at uz jen orbitalni cast, nebo jen spin, nebo dohromady, nebo moment hybnosti dvou castic, at jsou v atomu nebo kdekoliv jinde.
Slozky J_x, J_y, J_z momentu hybnosti podle QM vzdycky splnuji stejnou algebru, [J_x,J_y]=iJ_z, ze ktere lze vzdycky odvodit stejna pravidla. Navic rotace o 720 stupnu je dana vyrazem exp(i.4.pi.J_z/hbar) a musi byt vzdycky rovna identite, proto je J_z vzdycky
bud cele, nebo polocele cislo (krat hbar) - jakmile vezmeme v uvahu kvantovou mechaniku. Proc si myslis opak? V situacich, kde je celkovy moment hybnosti velky, lze casto aproximovat klasickou mechanikou, kde je spojity, ale skutecny moment hybnosti je i v tomto pripade diskretni!
K zrcadlite symetrii: ano, spojuje dve variety, ktere maji uplne jinou topologii a odlisne Eulerovo cislo, konkretne tato dve Eulerova cisla se lisi znamenkem. Hodgeho cisla jedne variety jsou (pisu po radkach)
((1,0,0,1),(0,h11,h12,0),(0,h12,h11,0),(1,0,0,1)), cemuz odpovidaji Bettiho cisla b0=b6=1, b1=b5=0, b2=b4=h11, b3=2h12+2, tedy celkove Eulerovo cislo je chi=b0-b1+b2-b3+b4-b5+b6=2(h11-h12). Zrcadlita varieta ma vymenene vsude h11 a h12. Zmenu znamenka Eulerova cisla lze videt v ruznych abstraktnich popisech teorie strun
na Calabi-Yau, napriklad v Gepnerove modelu, jako zmenu znamenka U(1) proudu ve svetoplosne N=2 supersymetrii.
Krome toho, ze teorie strun svazuje do paru Calabi-Yauovy prostory s ruznou topologii (diky cemuz se vyresila hromada matematickych problemu do te doby nepredstavitelne obtiznosti), teorie strun take dokazala, ze v prirode samotne muze dojit k dynamicke zmene topologie prostoru - nazorne receno, z toru muzeme udelat sferu tim, ze ho nekde zaskrtime, prekousneme, zbude mesicek, rohlik, ktery lze plynule pretvarovat do sfery.
Nejdrive bylo objeveno, ze mohou nastat flopy, pri nichz se nemeni Eulerovo cislo, pak se zjistilo, ze diky kondenzaci "cernych" D3-bran nabalenych na "priskripnutou 3-sferu" v Calabi-Yau muze dojit i k takzvanemu prechodu v bode konifoldu, coz je kriticky prechod, pri nemz se meni Eulerovo cislo (podobne jako v prikladu s torem a sferou). Z pohledu
zrcadlite variety vypada casto takova zmena topologie jako naprosto pripustna, spojita a nenapadna zmena tvaru. Pri konifoldovem prechodu se z cerne diry (cerna D3-brana navinuta na 3-rozmernou sferu) stane obycejna elementarni castice na nove variete, "roztavi se", viz Elegantni vesmir az vyjde.
Ahoj všichni,
moje poslední reakce byla na Lubošovu odpověď k náboji, ale zařadilo se to jinak, než jsem zamýšlel. Takže Luboši k té Tvé poslední odpovědi: znamená to tedy, že byla objevena nějaká ekvivalence už přímo mezi Calabi-Yauovými varietami s různými Bettiho čísly?
Ahoj! Pavel
Ahoj všichni,
Luboši, zní to velice přesvědčivě, ale stejnou argumentací by se dalo dospět k závěru, že i moment hybnosti musí být kvantovaný, což např. u dvou nevázaných částic neplatí (zdůrazňuji nevázaných, ne tedy v atomu).
Mějte se fajn a ahoj!
Pavel
Pavle, existují různé vztahy mezi teoriemi, v nichž se T-duality stávají S-dualitami a naopak, čili jsou stejně důležité. K T-dualitě. Když svineš 10-rozměrnou teorii typu IIA řekněme na kružnici o poloměru R ve strunných jednotkách, dostaneš efektivně 9-rozměrnou teorii, která obsahuje různé typy částic - některé z nich mají hybnost n/R ve směru kruhové dimenze, jiné odpovídají strunám w-krát navinutým kolem kružnice. Tyhle částice interagují různým způsobem apod. Tvrzení T-duality je teď v tom, že svinutím 10-rozměrné teorie typu IIB na kružnici o poloměru 1/R dostaneš 9-rozměrnou teorii s úplně stejným spektrem částic, které zcela identicky interagují (kdybych mluvil o bosonové nebo v podstatě i heterotické teorii strun, nebyl by rozdíl mezi IIA a IIB a T-dualita by účinkovala uvnitř jedné teorie: v případě IIA-IIB ukazuje T-dualita, že jsou dvě různé teorie fakticky ekvivalentní, v bosonovém případě z T-duality plyne, že jsou dvě různé hodnoty parametru jedné teorie fyzikálně ekvivalentní). Částici pocházející ze struny w-krát navinuté s hybností n/R v teorii IIA odpovídá nějaká částice n-krát navinutá s hybností w/R v teorii typu IIB, v obou případech mají hmotnost zhruba řečeno n/R+w.R = n.(1/R)+w/(1/R). Také stejně interagují, jen se liší změnou konvence, co nazveš navinutou strunou a co strunou s hybností ve směru kružnice; tahle změna je ale velmi revoluční, protože je v naprostém rozporu s naší geometrickou intuicí.
Mluvil jsem zatím o 1 kružnici, 9-rozměrných efektivních teoriích. Ale tuto kruhovou T-dualitu můžeš aplikovat na každou kružnici kompaktifikace zvlášť, je-li jich více. Ve skutečnosti když svineš více dimenzí - tedy když svineš na varietu (v tomto případě torus) o vyšší dimenzi - celková grupa symetrií T-duality vzroste, bude něco jako O(d,d,Z), kde d je dimenze toru. Podobně vykazují T-dualitu i jiné variety jako K3 apod., ale vždycky jde o něco, z čeho plyne, že velká varieta může být ekvivalentní malé a co jde dokázat poruchově. Velmi zajímavým příbuzným T-duality je zrcadlitá symetrie, z níž plyne, že fyzika na dvou dříve zcela různých 6-rozměrných Calabi-Yauových varietách je ekvivalentní. Počet 2-rozměrných "děr" či cyklů jedné z nich je rovný počtu 3-rozměrných u druhé, a naopak. Objev zrcadlité symetrie byl ohromným krokem vpřed také v algebraické geometrii, v analýze Calabi-Yauových variet. Zrcadlitou symetrii si lze představit jako T-dualitu provedenou na tři (toroidální) rozměry ze šesti.
Poloměr svinutí a další údaje můžeš také považovat za jisté parametry efektivní teorie, která žije v nesvinutých rozměrech, a proto záměna R a 1/R je v principu stejně netriviální a zajímavá jako g a 1/g a lze ji vyčíst v amplitudách rozptylu.
Milý pane Jirko,
snad to byl Rutherford nebo Pauli, kdo řekl, že pokud nedokážete vysvětlit věc babičce, tak jí nerozumíte. Jistě všeho s mírou, některé věci mohou být pro neexperty prostě těžké. Pokusím se odpovědět, protože ty předchozí reakce na Váš příspěvek za odpovědi nepovažuji, ale nebude to triviální. Elektrický náboj měří, nakolik se daná částice nebo objekt transformují při takzvaných kalibračních transformacích, kterým se říká U(1) a které si lze představit jako otočení o nějaký úhel v jistém abstraktním prostoru schovaném v částici. Když otočíme o abstraktní úhel 360 stupňů, všechno se musí vrátit do původního stavu, a proto i taková částice se musí otočit o násobek 360 stupňů, konkrétně Q.360 stupňů, kde Q pak udává náboj v násobcích náboje protonu a musí být celý (přesněji musí být celý násobek náboje kvarku, který je jen 1/3 protonu, ale to je detail).
Energii si lze naproti tomu představit jako způsob, jak se změní úhel (fáze) objektu při posunu času - obecně se tento úhel změní o E.t/hbar, kde hbar je malá Planckova konstanta, t je malý čas, o který posuneme, a E pak udává energii objektu. Jelikož čas není periodický, není tu žádná podmínka, že se něco musí otočit o násobek 360 stupňů, a proto E nemusí být (na rozdíl od Q) celé číslo. Totéž platí pro hmotnost, která je podle Einsteina spojena s energií vztahem E=mc^2, kde c je rychlost světla. Poznatek, že zachovávajíci se veličiny jsou spojeny se symetriemi systému, pochopila Emma Noetherová. Zachování elektrického náboje souvisí s kalibrační symetrií, zachování energie se symetrií vůči posunu času (zákony jsou stejné jako loni), zachování hybnosti s posunem v prostoru, moment hybnosti s rotacemi prostoru apod.
Ahoj lidi!
Nedávno jsem dotvořil diplomku, která se týká strun a která ve svých prvních třech kapitolách obsahuje stručný přehled strunové teorie. Kdyby Vás to zajímalo, umístil jsem ji na
http://mbox.troja.mff.cuni.cz/~mfab5099/diplomka.ps (postscript)
a na
http://mbox.troja.mff.cuni.cz/~mfab5099/diplomka.dvi (dvi soubor, bez obrázků).
Její text však bohužel vyžaduje znalost obecné relativity, kvantové teorie pole a teorie grup, takže zřejmě nebude přístupný příliš mnoha lidem.
>Jen me trosinku prekvapilo tvrzeni, ze "foton nelze jakkoliv presne lokalizovat".
>Podle standardniho modelu ci QED neni zadna skala, a tudiz minimalni (infimum) velikost >"vlnoveho klubka" fotonu je nula, nebo se mylim, Michale? :-)
Samozřejmě se nemýlíš, Luboši. Já jsem lokalizováním neměl na mysli nic jiného, než uzavření fotonu na určitou danou dobu do libovolně malé krabice. Uznávám, že v této souvislosti je použití slova "lokalizovat" přinejmenším matoucí. Za tuto formulaci se omlouvám.
Ahoj všichni,
Jirko, to jsi vyčetl pěkný nesmysl. Je ale fakt, že např. Ernest Rutherford (naschvál, mudrlante, kdo to byl?) řekl, že pokud nejste schopni teorii vysvětlit číšnici, nelze ji brát vážně (tu teorii, i když vlastně ... no, nechme toho). O dětech ze školky tam nebyla řeč. To je totéž, jako bych Ti řekl, že neumíš umocňovat na druhou, pokud to nedokážeš naučit svého psa. Jinak k těm nábojům a hmotám. Jednoduše řečeno je náboj kvantovaný a hmotnost není protože jde o naprosto odlišné věci, i když v některých ohledech vypadají podobně. Je to totéž jako se ptát, proč nejsou světlušky horké a těžké jako hvězdy, když v noci přece svítí podobně. Tím Tě v žádném případě nechci odradit, pochopitelně jde ten rozdíl mezi nábojem a hmotností velice korektně vysvětlovat, ale opravdu Ti nespolknem to, že je třeba umět to vysvětlit tak, aby to pochopilo i dítě ze školky.
Měj se fajn a pamatuj - Issac Newton tvrdil, že toho dokázal tolik, protože stál na ramenech obrů. Tím myslel těch, jejichž učení přejímal. Ti obři čekají i na Tebe v městské knihovně.
Ahoj! Pavel
Ahoj všichni,
Luboši, neměl jsem na mysli, že T-dualita je méně důležitá nebo nepotřebná, pouze jen to, že jsem si nedokázal fyzikálně představit její důsledky. Proto mě přišla S-dualita zajímavější, protože např. v kvantové chromodynamice by srdce fyziků určitě zaplesalo, kdyby bylo možno dosáhnout záměny vazebné konstanty g -> 1/g. Mít takovou zbraň pro popis v odlehlých energetických oblastech by bylo určitě výhrou. Jenom ale pokud jsem to pochopil správně, a S-dualita je takto použitelná (tj. popis dle jedné teorie pro vazebnou konstantu g je ekvivalentní popisu dle jiné teorie s vazebnou konstantou 1/g). Z Tvé odpovědi vyplynulo, že třeba T-dualitu jsem svého času pochopil špatně - vzal jsem doslova tehdy používaný žargon, a měl jsem opravdu za to, že jde o nějakou symetrii promítající se přímo do srážkových amplitud, a tuto symetrii jsem si takto nedokázal představit. Takže, jestli to teď už chápu správně, ona vzniká při kompatifikaci desetirozměrného prostoročasu na devítirozměrný, nebo při kompletní kompaktifikaci na konkrétní typy variet? Můžeš-li, rozveď prosím blíže tuto problematiku. Jinak, já také nepovažuji za žádný problém to, že teorie superstrun ještě nemá formulaci manifestačně nezávislou na pozadí. Koneckonců, stejně tak svého času v kvantové elektrodynamice byla prokázána Lorentz-kovariance mnoho let před tím, než byla nalezena manifestačně kovariantní formulace této teorie.
Dobry den,
mohl by me nekdo vysvetli proc je elektricky naboj kvantovany a napr. hmota ne.
Prosim o srozumitelne vysvetleni.
Nekde jsem cetl, ze pokud neco nejste schopen vysvetlit diteti z materske skolky, tak tomu nerozumite.
Dik
Jirka z Benesova
Nazdárek Pavle a lidi,
v první řadě se chci zamračit na tvrzení, že ke sjednocení teorie strun stačí S-duality a nejsou třeba T-duality, případně že jsou T-duality méně hodnotné nebo něco podobného. T-duality byly objeveny dříve, protože platí řád po řádu v poruchovém rozvoji - proto jsou pro teoretika strun dnes méně magické, ale jsou jistě stejně důležité, i v článku od Yoneyy :-) jsou vysvětleny a na obrázku 1 tohoto článku si všimni důležitých šipek T-duality. S-duality byly objeveny později a nejsou symetriemi ryze spojenými se strunami, protože existují i v teoriích pole, například N=4 super-Yang-Mills má grupu S-duality SL(2,Z). Naopak T-dualita je onou zázračnou strunovou symetrií, jejíž platnost v nestrunné teorii by vypadala jako fantasmagorie (představte si to, tvrdit, že fyzika na zahradní hadici o tloušťce 1/100 je stejná jako fyzika na zahradní hadici o tloušťce 100). Strunová/M-teorie také může mít obecnější U-duality, které spojují T-duality a S-duality a míchají malý poloměr s velkou hodnotou vazebné konstanty apod.
Snad to nebudeš brát jako neoprávněnou výtku, ale důvod, proč říkáš, že nejsou T-duality důležité, souvisí s tím, že nevíš, co ve skutečnosti jsou. T-dualita není žádné tvrzení, že "fyzika ve škále R je stejná jako v 1/R", jak říkáš. T-dualita je tvrzení, že například teorie strun typu IIA svinutá na kružnici o poloměru R je fyzikálně ekvivalentní teorii strun typu IIB na kružnici o poloměru alpha'/R (přesně tolik, jedině pro tento rozměr, není to tedy žádný řádový odhad škály a není to žádné ztotožnění škál, výrok platí jen pro kompaktifikaci na zcela konkrétní variety a ekvivalence platí pro zcela všechny jevy na úplně všech škálách energií!). T-dualita je zcela exaktní symetrie teorie strun, kterou lze dokázat v dvourozměrné konformní teorii pole. Pokud studuješ fyziku strun svinutých na kružnici o poloměru 1/10, nalezneš zcela stejné stavy jako při poloměru 10 (módy hybnosti s energiemi v násobcích 1/R se zamění s navíjecími módy, jejichž energie tvoří násobky úměrné R) a také jejich amplitudy rozptylu tuto symetrii přesně respektují! Více v Elegantním vesmíru, na mém WWW, v článcích např. od toho Yoneyy apod.
Ke konkrétnějším otázkám. Když se podíváš na ten obrázek u Yoneyy pořádně, zjistíš, že pro spojení všech teorií strun do jednoho celku potřebuješ jak T-duality, tak S-duality i M-teorii, detaily se lze dočíst tam nebo i jinde. Co se týká dotazu z roku 1991 pro Petra Hořavu, D-brány (jejichž nejstarší původ v roce 1989 je mimochodem s jménem Petra Hořavy spojen) byly doceněny až v roce 1995, kdy Polchinski zjistil, že nesou náboje vůči RR polím, tak snad není překvapivé, že Petrova odpověď moc nesouvisela s tím, co víme o D-bránách dnes (fakticky nevím, co máš Ty nebo Yoneya na mysli, když mluvíš o tom, že D-brány umožily formulaci nezávislou na pozadí; umožnily neporuchové formulace, ale všechny začínají s jistým pozadím, jak Maticová teorie, tak AdS-CFT). ;-)
Každopádně Petrova odpověď byla samozřejmě správná a důležitá: ve strunách lze počítat pomocí rozvoje kolem plochého Minkowského časoprostoru, ale také kolem libovolného jiného pozadí, které splňuje rovnice pohybu (opakuji, úplné rovnice pohybu, nikoliv nějaké okleštěné, jak jsi nedávno tvrdil), ale důležité je, že FYZIKA, to jest výsledky výpočtů, jsou nezávislé na pozadí. Nedá moc práce dokázat, že koherentní stav gravitonů má úplně identické fyzikální důsledky jako změnění metriky v pozadí, a proto teorie strun dodržuje princip ekvivalence úplně stejně ortodoxně a exaktně jako obecná relativita. Samozřejmě, že když teorii strun formulujeme jako nástroj výpočtu S-matice, MUSÍME začít s nějakým pozadím, které určuje asymptotický tvar časoprostoru (proto je tvrzení o "kroku zpět" nepochopením kvantové teorie pole), ale na volbě tohoto pozadí v případě teorie strun fyzikálně nezáleží. Fakt, že nám zatím schází formulace strun, která je od začátku a očividně nezávislá na pozadí, nás může provokovat, ale je to FYZIKA, nikoliv způsob výpočtu, na které opravdu záleží, a proto je třeba rozhodně odpovědět, že teorie strun dodržuje princip obecné kovariance a nezavádí žádný fyzikální rozdíl mezi metrikou od pozadí a metrikou od fluktuací. Tvrdit opak je stejně pošetilé jako tvrdit, že obecná relativita nedodržuje princip ekvivalence proto, že se v hodinách obecné relativity odvozují linearizované rovnice nebo Newtonova limita.
Yoneya má dnes přece jen trochu idiosynkratické pohledy, ale k formulaci nezávislé na pozadí: strunové teorie pole například připouští formulaci nezávislou na pozadí; strunová teorie _pole_ ale nesplnila očekávání být plnou neporuchovou formulací teorie strun (ačkoliv nynější aktivita lidí jako Ashoke Sen se snaží o rehabilitaci a o úspěch), spíše dnes většina říká, že strunová teorie pole je jen jistou formou reorganizace poruchových výpočtů; jelikož užívá od začátku struny, které jsou správnými (lehkými) stupni volnosti jen v určitých limitách prostoru teorií, nemůže být tou pravou formulací daleko od příslušné asymptotické oblasti vakuí teorie strun, kde jsou lehké jiné objekty.
Pokud jsem na něco nezapomněl, žádné další přesvědčivé úspěchy ve formulaci nezávislé na pozadí nejsou, ačkoliv mnoho lidí asi včetně mně věří, že by taková formulace měla existovat, ale opakuji: to, zda ji nalezneme, nemění nic na zcela exaktním a dokázaném faktu, že FYZIKA teorie strun JE nezávislá na pozadí, se kterým začneme. Většina lidí v oboru volí pragmatický postoj a počítá konkrétní věci, které počítat jdou, a nestará se o realizace jednoho snu (či předsudku) o tom, že by měla existovat i stoprocentně krásná formulace, v níž jsou všechny zázračné vlastnosti teorie očividné.
Zdravím všechny vespolek!
Luboši, o T-dualitě jsem sice slyšel už v době mých studií (přesněji slyšel jsem folklórní žargon, že fyzika ve škále R je stejná, jako fyzika ve škále 1/R), ale popravdě řečeno jsem si ji dokázal představit pouze jako matematickou vlastnost srážkových amplitud, nebylo mi totiž jasné, jakým způsobem by se to "odražení rozměrů" reálně projevilo třeba v nějakém srážkovém experimentu. Spíše mi přijde zajímavější tzv. S-dualita, o níž jsem se dozvěděl později, jestli bys tedy mohl tuto vlastnost blíže rozvést. Dočetl jsem právě zajímavý článek Tamiaki Yoneya: String Theory - where are we now? (pro zájemce - lze si vygenerovat jeho postscript nebo pdf na adrese xxx.lanl.gov/list/hep-th/0004 - je to článek č. 0004075, dejte ale pozor při tisku, mě např. během něj vypadla téměř všechna znaménka mínus). Z něj je patrné, že tato dualita hraje důležitou roli ve vztahu pěti tříd strunových teorií v desetirozměrném prostoročase a M-teorii v jedenáctirozměrném prostoročase, možná jsi se o tom už rozepisoval, mohu-li Tě poprosit, kdybys to také trochu rozvedl. V článku je také zmíněna mimořádná důležitost zde zmiňovaných D-brán, dokonce v souvislosti s nezávislostí teorie na metrice terčového prostoročasu (v článku na straně 12 dole). To mě docela zaujalo, protože, pokud mě aspoň paměť nemýlí, ptal jsem se už někdy v 91 roce Petra Hořavy na to, zda není krokem zpět, když teorie superstrun vychází apriori na začátku z plochého desetirozměrného prostoročasu. On mi tuším tehdy odpověděl něco v tom smyslu, že je to stejně jedno, že to dopadne nastejno. Ale možná si to pletu a bylo to jinak. V té době tuším D-brány v superstrunách nebyly. Ve zmíněném článku se dále tvrdí, že stále není k dispozici formulace strun zjevně nezávislá vzhledem k této volbě pozadí (tj. metriky na terčovém prostoročase). Jsou k dispozici aspoň dílčí pokroky ve hledání této kovariantní formulace?
Omlouvam se opet za upravu, opet jsem u podivne fungujiciho netscapu. Vojto, Tvoje rypnuti do D0-bran je velmi zajimave. Vez ale, ze ackoliv jsou D0-brany bodove castice, geometrie v jejich tesne blizkosti se chova naprosto neocekavanym zpusobem, ktery vsechny potencialni problemy fluktuaci geometrie zahlazuje.
Tak napriklad kdyz priblizis do tesne blizkosti N bodovych castic, jejich polohy lze popsat zadanim N vektoru v d dimenzich. S D-casticemi je tomu jinak. Na popis poloh N D-castic nestaci N vektoru, ale potrebujes celou matici N x N, jejimiz polozkami jsou vektory v d dimenzich.
Pokud D0-brany vzdalujes od sebe, prislusna matice se s velkou presnosti diagonalizuje - a polozky na diagonale (kterych je N) oznacuji polohy efektivnich castic. Pokud jsou ale blizko sebe, je treba skutecne pracovat s celymi maticemi, D0-brany se tedy ridi jistou formou nekomutativni geometrie. V kazdem pripade prestavaji obvykle pojmy geometrie
na tak kratkych vzdalenostech, jake mohou byt mezi D0-branami, platit, a spolu s tim prestava hrozit jakekoliv nebezpeci zhoubnych fluktuaci casoprostoru apod. Matematicky popis asi na tohle forum opet nepatri.
Pavlovi: brany mohou mit obecne v podstate libovolnou dimenzi mezi -1 a poctem prostorovych rozmeru. (-1)-brana je "instanton", neco lokalizovane v case i prostoru, 0-brana je jako castice (ale viz vyse), 1-brana vypada jako struna, 2-brana je membrana atd. az 9-brana vyplnuje cely prostor (ty jsou napriklad v teorii typu I). Brany jsou dulezitou
soucasti fyziky souvisejici s teorii strun. M-teorie v 11 rozmerech napriklad obsahuje M2-brany a M5-brany, pricemz membrany lze chapat jako elektricke zdroje pro C_{abc} potencial supergravitace, zatimco petibrany jsou "dualni" magneticke naboje. Na urovni teorie pole vetsinou slovem p-brana minime reseni podobne Schwarzschildove reseni pro cernou diru,
ktere se ovsem krome toho rozleha v dalsich souradnicich, na kterych reseni nezavisi.
Poruchova teorie strun ale pripousti mnohem exaktnejsi popis pomoci tzv. D-bran neboli Dirichletovych bran. Jde o to, ze struny nemusi byt jen uzavrene smycky, ale i otevrene s dvema konci. Na konci struny musime mit jiste okrajove podminky. Drive si lide mysleli, ze jedine Neumannovy podminky jsou v poradku. Dnes ale vime, ze souradnice na konci struny
mohou mit i Dirichletovy podminky typu X1=const, ktere vyjadruji, ze konec struny konci na urcite "hyperrovine", ktera je ve skutecnosti dynamicky objekt, D-brana. D-brany se ukazaly byt velmi dulezite a stoji v pozadi velke casti velkych objevu v 2.superstrunne revoluci. Jestli jsi, Pavle, slysel o T-dualite mezi kruznicemi o polomeru R a 1/R, vuci T-dualite
se z Dp-brany stane D(p+1)-brana nebo naopak D(p-1)-brana. Na D-branach existuji ruzna pole - Yang-Millsova (elektromagneticka), skalary (odpovidajici pricne poloze membrany), vsechna maji obvykle excitace, a ackoliv jsou D-brany nekonecne tezke pri slabe vazebne konstante - hmotnost jde jako 1/g - a jsou tedy neporuchovymi objekty, dynamiku na nich lze zkoumat
poruchovymi metodami, pomoci teze teorie strun jako pro uzavrene struny (ktere jsou casti stejne teorie), jen s odlisnymi okrajovymi podminkami.
Teorie typu IIB ma -1-brany, 1-brany, 3-brany, 5-brany, 7-brany a 9-brany. Teorie typu IIA naopak zase sude brany od D0-bran az po D8-brany, teorie typu I jen D1,5,9-brany (supersymetricke). Krome toho jeste vsechny teorie strun krome typu I maji NS5-brany, petibrany, ktere nelze popsat jako D-brany. P-brana je p-rozmerny objekt, ktery lze take nabalit na ruzne
netrivialni "cykly" (subvariety) v casoprostoru a redukovat tak jejich dimenzi. Kdyz jich polozime nekolik vedle sebe, dostavame netrivialni teorie, analogicke te maticove mechanice N x N zminene vyse (Yang-Millsovy teorie). Krome supersymetrickych bran, o kterych sla rec dosud, existuji i ruzne nesupersymetricke brany, ale to bych uz sel moc daleko.
Zdravi
Lubos
Ne, tak to chápeš zřejmě dobře, každopádně jinak, než jsem Tě pochopil já. Jinak, vyhrabal jsem na disku velice zajímavý, ale dlouhý článek o té pěnovité struktuře, budeš-li mít zájem, pošlu Ti ho mailem. Už letím, mějte se všichni fajn, bohatou pomlázku vám všem a po pondělí se zase budu těšit, co tu přibylo!
Ahoj, Pavel!
Kvantove fluktuace si predstavuju nejak tak, ze s urcitou nenulovou pravdepodobnosti se v kazde oblasti prostoru o nenulovem objemu objevuji a mizi castice. Jestlize ma hmotna castice nulovou velikost, pak jeji hustota diverguje a podobne i zakriveni casoprostoru v jejim okoli. To je priklad neslucitelnosti OTR a QM v teorii s bodovymi casticemi. Protoze pokud dochazi ke kvantovym fluktuacim hmotnych castic nulove velikosti, pak struktura casoprostoru ztraci jakykoli smysl. Takhle jsem to myslel, chapu to spatne?
Ahoj všem!
Vojto, možná jsi smísil dva pojmy. Fluktuace prostoročasu byla svého času tuším Penroseova představa tzv. pěnovité struktury prostoročasu na Planckovských škálách. Obecně se má za to, že gravitace na těchto škálách není konzistentně popsatelná nekvantovou Einsteinovou teorií, která opisuje dynamiku hladkých, "nekonečně dělitelných" variet. Teorie strun problém řeší jinak, než byl Penroseův model, o tom nám poví Luboš. Pokud jsi to ale myslel jinak, omlouvám se. Rozšířil bych každopádně Tvůj dotaz na Luboše o toto: jakým způsobem jsou do teorie zaváděny m-brány, kde m je jejich rozměr (byly tu už několikrát zmíněny D0-brány, pětibrána v jednom modelu vesmíru atd.), a jakým způsobem teorie omezuje nebo neomezuje maximální rozměr (tj. to m) m-brán v teorii.
Mějte se fajn a ahoj!
Pavel
V teorii strun typu IIA jsou D0-brány. Tedy vlastně bodové částice. Jak je to potom s kvantovymi fluktuacemi? Měly by přece na subplanckovských vzdálenostech roztrhat časoprostor...
Přeju pěkný zelený čtvrtek!
Hoj Vojto!
Možná tomu nebudeš věřit, ale Tvoje dvě otázky spolu úzce souvisí. K tachyonu. Teorie bosonových strun předpovídala existenci tachyonu, částice se zápornou druhou mocninou hmotnosti, která se proto pohybuje vždycky nadsvětelnou rychlostí - a tím působí, že teorie nemá úplný smysl (lze cestovat do minulosti apod.); odtud příbuznost s tachometrem. Teorie superstrun, které jsou plně konzistentní a které dnes máme na mysli při vyslovení "teorie strun", už žádné fyzikálně existující tachyony nepředpovídají, supersymetrie to ani neumožňuje. Přesto v takzvaném RNS přístupu - Ramond, Neveu, Schwarz - lze začít s podobnými vibračními módy, jako mají bosonové struny, a pak lze smysluplně rozdělit možné vibrace na dvě skupiny a jednu zcela odhodit, tomu se říká GSO projekce. Čili vibrační módy lze vytvářet působením operátorů na tachyonový "základní stav" - struna, která vibruje nejméně, jak to jde, ale tachyon samotný stejně nakonec nepřežije GSO projekci, po níž nám zbudou jen hezké částice jako graviton, foton, dilaton, případně různé stavy odpovídající duchům v Yang-Millsově teorii (z těch se nakonec vylíhnou také jen pomocná, nefyzikální pole, ale to až v jiné fázi).
K Higgsovi. Všechno na světě má tendenci ustálit se v nejmenší energii - například kulička sklouzne do dolíku. Na základní škole se učí, že rovnováha může být stabilní či labilní, stabilní je "v dolíku", tj. energie nabývá minima, labilní je naopak na špičce, kde je energie maximální. Hustota energie pro Higgs vypadá jako H^4-2.H^2, kde H je Higgsovo skalární (tedy jednoduché číselné) pole. V bodě H=0 máš lokální maximum, v bodech H=1 a H=-1 jsou minima (zjisti derivováním). Higgs ze symetrické pozice H=0 náhodně spadne buď do bodu H=1 nebo do H=-1, jako když se skutálí kulička, a tím naruší symetrii (ve skutečnosti je prostor H vícerozměrný a jsou tam jiné konstanty, ale nekomplikujme to). Higgs "interaguje" s dalšími částicemi, to znamená, že existuje příspěvek k energii, který vypadá cca. jako m.H.P.P, kde H je Higgs a P je jiné pole, například W bosonu (v tomto případě by P byl vektor) nebo elektronu, a "m" je síla interakce. Je to interakce mezi nimi, protože závisí na obou, H i P. Když teď místo H dosadíš jeho hodnotu, kterou má ve vakuu - nazval jsem ji pro jednoduchost H=1 - vznikne Ti z m.H.P.P člen m.P^2, který odpovídá tomu, že částici P přidáš hmotnost m. Jelikož jsou interakční konstanty "m" pro různé částice P odlišné, získají různé částice od Higgse různé hmotnosti, jako třeba elektron a neutrino, ale matematické detaily sem asi fakt nepatří.
A proč jsem řekl, že otázky souvisí? Kdyby si Higgs nesedl do bodu stabilní rovnováhy, kde je minimum energie, v našem případě H=1 nebo -1, ale zůstal v labilní rovnováze H=0, kde má energie lokální maximum (přesněji tento bod je sedlový, vzhledem k Higgsi je maximem, ale je minimem vůči změně jiných polí), samotné Higgsovo pole by bylo tachyonem, protože pro malé H se potenciální energie chová jako -2H^2, kde H^2 je obvyklý "hmotový člen" a koeficient -2 lze interpretovat jako zápornou hmotu na druhou. Vidíš, že Higgs může fakticky sklouznout do minima, a proto říkáme, že když má teorie tachyony, je vakuum nestabilní, protože neodpovídá minimu energie, ale v určitém směru je to maximum, z něhož má "kulička" tendenci sklouznout, při čemž se potenciální energie nepřemění na rychlost kuličky, jak jsme zvyklí v jednoduchém případě, který vydávám za analogii, ale na hromadu záření.
Ještě Jirkovi: doufám, že tu pravděpodobnost padnutí dvaceti jedniček nebudeš experimentálně ověřovat :-))).
Ahoj! Pavel
Ahoj Luboši a ostatní,
nejprve se zmíním o jedné z možných představ entropie a informace, pak se dostanu ke strunám. Opět si nedělám nárok na neomylnost nebo úplnost mých představ, když tak mě opravte nebo doplňte.
Jirko, představ si, že máš v krabici třeba dvacet obyčejných šestistěnných hracích kostek. Pro jednoduchost si každou poznamenejme jiným barevným odstínem, abychom je mohli odlišit jednu od druhé. Nechť jsou na začátku otočeny jedničkama nahoru. Součet bodů na všech je tedy dvacet. Když se nad tím zamyslíš, existuje pouze jeden jediný způsob, abys získal součet bodů na kostkách dvacet, a to ten, že všechny budou otočeny jedničkami nahoru. Teď s krabicí zatřes, a spočti znovu ciferný součet. Zapiš si ho, pak to udělej znovu, zapiš součet atd.. Určitě zjistíš, že se ciferný součet začíná blížit k 70. Je to tím, že zatímco ciferný součet dvacet je možno realizovat pouze jedním způsobem (stejně jako ciferný součet 120), součet dvacet jedna je už možno získat dvaceti způsoby (stejně jako součet 119), součet dvacet dva (stejně jako 118) už získáš 65 možnostmi atd., a zdaleka nejvíce možností odpovídá průměrné hodnotě 3,5 (to si můžeš ověřit už se dvěma kostkami). Proto nejpravděpodobnější je ciferný součet 3,5*20=70. Entropie u tohoto systému pro nějaký vybraný ciferný součet je definována jako podíl logaritmu počtu možností, které mají tento ciferný součet, a logaritmu všech možností bez ohledu na ciferný součet (těchto všech možností je v našem případě 6^20). Obecně u každého fyzikálního systému se dá entropie definovat jako podíl logaritmu počtu mikrostavů, kterými se realizuje daný makrostav (např. stav s daným rozložením teploty) ku logaritmu počtu všech možných mikrostavů. Pouze s tím rozdílem, že v našem případě bylo v krabici 20 kostek, zatímco v krychlovém centimetru běžné látky je jich řádově 10^23 až 10^24. Druhá věta termodynamická pak říká, že entropie izolovaného systému roste k nějakému maximu (v našem případě k entropii odpovídající součtu 70), tedy že systém mnohem spíše skončí v jednom z mikrostavů, který bude odpovídat největšímu počtu realizací nějakého makrostavu. Pochopitelně stále existuje možnost, že systém náhodou skončí jinde. Např. v našem případě s kostkami, pokud bys zatřepal krabicí jednou za vteřinu, pak asi za 118 miliónů let by se Ti určitě podařilo hodit zase samé jedničky. Pokud ale bereme reálné systémy sestávající z řádově kvadriliónů (10^24) částic, pak odpovídající časy jsou prostě mimo jakoukoliv fyzikálně únosnou představu.
Pojem informace s entropií úzce souvisí. Např. posloupnost kostek, která má maximální entropii nese maximální informaci (každá kostka nám dává hodnotu neodvoditelnou z jiných). Zato např. posloupnost, kde jsou vždy dvě stejné hodnoty za sebou, nese poloviční informaci (též její entropie je poloviční, informace bývá NĚKDY pomocí entropie definována, ale záleží na kontextu), protože každá sudá hodnota je závislá na předchozí liché. Posloupnost samých stejných hodnot má minimální informaci, dá se totiž zkráceně zapsat stylem "tato hodnota dvacetkrát". Abych byl ale přesný, entropie těchto posloupností bývá definována jinak, než v našem případě s kostkami (lze ji spočíst podle Maurer-Conorova vztahu). Obecně ale platí, že posloupnost s maximální entropií (a tedy v daném smyslu maximální informací) je náhodná. Pokud bychom např. někomu ve vesmíru chtěli dát o sobě vědět, rozhodně mu nebudeme vysílat náhodné znaky. Naopak - budeme mu vysílat posloupnosti, které jsou maximálně komprimovatelné, tedy dají se zhustit do co nejkompaktnější informace (že je posloupnost komprimovatelná, zjistí s horším výsledkem různé počítačové komprimační programy, důsledně to zjistí právě zmíněný Maurer-Coronův test, ten ovšem ke spolehlivému výsledku vyžaduje, aby testovaná posloupnost byla dlouhatánská (např. pro zjištění závislosti mezi 16-ti bitovými znaky musí mít asi 130 MB, s délkou znaků tato velikost drasticky roste).
Struny: Tvůj argument o matematické eleganci je pro mě Luboši mimořádně přesvědčivý už proto, že jsem tentýž svého času používal vůči různým strunovým pochybovačům. Dobře, teď pro změnu budu za heretika já, ber to jen jako obracení problému ze všech stran kvůli získání co nejširších úhlů pohledu. Svého času jsem přemýšlel, jaké stupně volnosti tato matematická elegance umožňuje, konkrétně, kde a jak brzo narazím na matematickou neeleganci, budu-li chtít různými naivními způsoby strunové schéma obměňovat. Jako první v souvislosti s tehdy mezi strunaři rozpracovávanými návrhy orbifoldů mě napadla taková hrozně primitivní představa (doufám, že se mi kvůli ní nevysměješ, byla to jen nevážně míněná exkurse). Představme si struny ve tvaru jakýchsi provázků spojených pevně v jednom bodě (tedy tvořící taková pampelišková chmýříčka s různými počty paprsků). Je jasné, že takový útvar by kreslil velice nehezké útvary při své propagaci prostoročasem. Obraz by to byl nejspíš opravdu matematicky neelegantní, spousta získaných výsledků by byla nepoužitelná a mnohé jiné jen s pracnými předělávkami. Tehdy jsem si poprvé uvědomil, že mnohem lepší je pohled na struny jakožto na 1+1 superkonformní teorii, jejíž bosonová pole kreslí v terčovém prostoročasu ty krásné a hladké Riemannovy plochy, které když říznem prostorupodobným řezem, tak dostaneme teprve "sekundárně" struny jakožto jistý efektivní popisný objekt. Dospěl jsem k závěru, že důležitější bude starat se o elegantní popis těchto Riemannových ploch a struny chápat pouze jako vedlejší produkt tohoto popisu (proto jsem se Tě svého času ptal na to "zauzlení" strun, pokud jako primární chápeme ty plochy, tato otázka pozbývá smyslu). Ovšem stále zůstává "nekonečno" různých libovůlí v strunovém rámci (tady spekuluji, oprav mě když tak). Např. ty svinuté dimenze přece mohou vytvářet nepřeberné množství různých topologicky neekvivalentních variet, existuje jednoznačný způsob, proč vybrat jen některé z topologií? (trochu jsi už o tuto otázku zavadil, když jsi se v jednom příspěvku zmínil, že se "tvar" této variety vybere tak, aby něco minimalizoval - měl jsi na mysli její topologický typ?).
Zatím ahoj!
Pavel
Moc by me zajimalo, jak je to ve strunovych teoriich s tim tachyonem. Mel jsem za to, ze je to castice predpovidana v bosonove teorii strun s 25-ti dimenzemi, ktera se pohybuje zasane nadsvetelnou rychlosti, a ze potreba teto castice v dalsich strunovych teoriich zmizela. Presto tady slysim pojmy jako: tachyonovy zakladni stav, tachyonove pole, tachyonova kondenzace apod.
Dalsi moje otazka souvisi s Higgsovym bosonem. Pred casem tu zaznelo neco v tom smyslu, ze tento boson urcuje vlastnosti dalsich castic (ta analogie s nahodne padajici tuzkou). Jak presne souvisi Higgsovo pole s elektrony a neutriny? A proc ma tendenci spadnout k co nejnizsi energii?
Preju pekny den.
Ahoj Jirko,
premysel jsem nad tim, co a hlavne jakou formou ti mam odpovedet. Takove ty popularni "definice" entropie jako "mira neusporadanosti" daneho systemu jiste znas. To je vicemene fyzikalni zalezitost a napriklad ve statisticke fyzice se entropie systemu definuje jako S=ln\Gamma, kde \Gamma je oblast fazoveho prostoru (prostoru mikrostavu), ktera odpovida danemu makroskopickemu stavu systemu. Tento stav muze byt charakterizovan napr. energii a jinymi velicinami. Chapej to tak, ze danemu makroskopickemu stavu systemu muze statisticky odpovidat velke mnozstvi mikrostavu, ktere se znazornuji v tzv. fazovem prostoru. Jednim v podstate axiomu statisticke fyziky je, ze se realizuji se stejnou pravdepodobnosti.
Proc je v definici zrovna logaritmus se da odvodit vicemene z empiricky z vlastnosti, ktere chceme aby entropie mela(napr. chovani vuci deleni naseho systemu na podsystemy, apod.)
Druha zalezitost je vec entropie v matematice. Ta je spojena s tzv. teorii informace. Tato disciplina je pomerne mlada, vznikla asi ve 40. letech. O teto teorii existuji samozrejme khihy i kdyz nevim, jestli ti budou dostupne (hlavne co se tyce potrebneho mat. aparatu). Jedna z uvodnich a mozna nejsrozumitelnejsich vysla ve slovenstine.
Autorem je Igor Vajda a nazev Teorie informace a statistickeho rozhodovani. Mela by byt pristupna pokrocilejsim stred. studentum. Nevim samozrejme jaka je tvoje soucasna uroven znalosti, myslim si vsak, ze vzhledem k tomu ze navstevujes teprve ZS si budes muset asi jeste par let pockat.
Nicmene nechci te odradit..
Zdravi Ondrej
Pro pana Vanu:Goniometricke funkce
Ahoj Jirko,
moc rad bych ti odpovedel ale nevim, co jste naposledy probirali v matematice ...
Zdravi Ondrej
Mam dotaz na pana Vanu- Co je to entropie a informace??
Jirka Pokorny - zak ZS Benosov
Hoj Vojto a Pavle!
Tenzorove pole je jeste celkem legrace, Pavel popsal tenzorova pole se spinem dva, celkem ale muze mit tenzor i vice indexu - pak ma proste hromadu komponent, ktere se do sebe transformuji urcitym zpusobem pri rotacich souradnic, transformuji se v podstate jako souciny vektoru. Skalar je jeste jednodussi, protoze je to cislo v kazdem bode, napriklad teplotni pole. Horsi na predstavu jsou spinory. ;-)
Pavlovi: u vetsiny veci, ktere vyjmenovavas, nesouhlasim, ze je teorie strun prebira nebo zavadi. Vyjimkou z Tveho seznamu je uvezneni kvarku - to skutecne prebira, presneji receno z teorie strun plyne v limite stejna fyzika kvarku jako z QCD, a proto take musime sahnout k obvyklym nastrojum na zkoumani jevu v QCD - napriklad simulace na mrizkach apod., z nichz usuzujeme, ze je uvezneni kvarku spravna predpoved.
Chci ale rici, ze otazka, zda se kvarky v kvantove chromodynamice opravdu uveznuji, je ciste matematicka a smysluplna otazka, a odpoved je podle vetsiny toho, co vime, kladna. Jinak "potreba" skalarnich poli neni neco, co teorie strun prebira. Teorie strun naopak jasne predpovida, ze ve vsech pozadich MUSI existovat gravitace a v te ci one tride "modelu" (vakui) musi existovat ta ci ona skalarni (nebo kalibracni) pole.
Podobne jako u uvezneni kvarku, teorie strun take prechazi na obvykle teorie pri nizkych energiich v otazce naruseni symetrie, a proto "prebira" jejich zavery; krome toho ale ukazala velkou radu pripadu, kdy "naruseni symetrie" je jen (elektromagneticky) dualni popis "uvezneni" a mnoho dalsich netrivialnich vztahu mezi vecmi, ktere se zdaly drive tak ruzne.
Podobne svinuti rozmeru neni nic, co jsme si primontovali. Kdyz se zeptame, jake teorie v 1+1 rozmerech mohou byt konzistentni, naopak muzeme matematicky *odvodit*, ze se rozmery mohou svinout a jakym zpusobem se mohou svinout.
Jinak sila superstrun je snad stale hlavne v jeji matematicke eleganci a konzistenci, ve zpusobu, jakym umi spojit tolik napohled ruznych veci. Proto ji tak verime. Supersymetrie je casti obrazku, a tudiz si take zaslouzi cestne misto. Kdyz nekdo chce teorie, ktere nepridavaji zadny "matematicky krasny bordel", ale odecitaji veci jen z experimentu, at se vrati do starych dob, kdy vsechno bylo slozeno ze ctyr zivlu.
Pokrok vedy je prece prave opacny: ze stale vice abstraktnejsich, jednotnejsich a elegantnejsich principu delat stale dalekosahlejsi zavery.
Z jine stranky: duchove Fadejeva-Popova jsou standardni nastroj na zachazeni s jakoukoliv teorii s lokalnimi symetriemi - a teorie strun, pojimana jako 2-rozmerna konformni teorie pole, neni vyjimkou. Tak nechapu, proc (a jak) by ses chtel obejit bez duchu. Z jineho uhlu zase plati, ze duchy Yang-Millsovy teorie lze opet primo *odvodit* ze strun v podstate jako pomerne zakladni vzbuzene stavy strun (oscilator konformniho duchu pusobici na tachyonovy zakladni stav).
Takze celkove bych shrnul, ze se teorii strun u vetsiny Tebou zminenych veci podarilo nalezt hlubsi podstatu uvedenych jevu, ktere mimo teorie strun mohou vypada jako "ad hoc".
Sorrac, zase to nemohu moc dobre kontrolovat ani opravovat.
Dotaz na Luboše: ještě na škole mě trochu mrzelo, že teorie superstrun přebírá z ostatních teorií i sama zavádí spoustu fenomenologického aparátu, který vznikl buď za účelem vysvětlení nějakého fyzikálního procesu (např. narušení symetrie, potřeba zavedení skalárních polí, uvěznění kvarků, kompaktifikace nadbytečných dimenzí atd.), nebo jen za účelem dosažení nějaké matematické vlastnosti, která není experimentem vynucována (např. supersymetrie, ale můžeme zde s jistou výhradou zmínit třeba také duchová pole "vznikající" při výpočtu korelačních funkcí Yang-Millsových polí atd.). Vždycky jsem byl přesvědčen, že se jedná o dočasný stav, a že se postupem času podaří "odhalit" nějaký dostatečně sofistikovaný princip ležící v samém jádru teorie, ze kterého všechny zmíněné fenomenologie logicky vyplynou. Podařilo se to aspoň u některých, resp., vlastní teorie superstrun vysvětlení nějakého "grifu", který je v jiných teoriích používán ad hoc?
Pavel
Každý bod má přiřazenu hodnotu, nejlépe spojitě a hladce bod od bodu (ta spojitost a hladkost nemusí být ale bezpodmínečná). Příklady skalárních polí: hustota tělesa, která se mění bod od bodu, teplota tělesa, tepelná vodivost, průzračnost tělesa, jeho radioaktivita, potenciál elektrického, magnetického či gravitačního pole, intenzita jeho barvy ve vybrané vlnové délce, prostě jakákoliv (obyčejně spojitá a hladká) charakteristika, která se může měnit bod od bodu a je zadaná jedním reálným, nebo i komplexním číslem (např. pravděpodobnostní vlnová funkce).
Pavel
Dobre, moje predstava dostava o neco konkretnejsi tvar.
A jak je to se skalarnim polem?
Pokusím se Vojtovi nastínit svou představu, ponechávám ale prostor pro jiné, aby uvedli jiné způsoby, jak si představit toto tenzorové pole. Tenzorové pole si lze představit hned několika způsoby (teď bude řeč o tenzorovém poli druhého řádu odvozeném od tečného vektorového prostoru k dané varietě dimenze n, tj. tenzorové pole má n^2 složek - např. pro třírozměrný prostor tedy bude mít 9 složek). Jeden ze způsobů je inspirován optikou, resp. elektrodynamikou látkových prostředí. Máme-li opticky, resp. dielektricky anizotropní látku, pak tato látka obecně změní směr dopadajícího paprsku světla, resp. vektoru vnějšího elektrického pole. Tedy každému vektoru "vstupnímu" odpovídá nějaký vektor "výsledný". Je-li tato transformace popsatelná lineární transformací, pak prvky matice této transformace tvoří složky nějakého tenzoru druhého řádu (v našem případě jednou kovariantního a jednou kontravariantního, abych byl přesnější). Tedy tenzorové pole si lze např. představit jakožto pomyslnou "anizotropickou" vlastnost, která v každém bodě dokáže "transformovat" nějaké vektorové pole na jiné ("transformované"). Spec. lze takto v jistém smyslu chápat převod mezi kovariantními a kontravariantními vektorovými poli, kde "transformačním" tenzorovým polem je metrický tenzor (nyní ale buď dvakrát kovariantní, nebo k němu inverzní dvakrát kontravariantní, protože se mění vektorové pole kovariantní na kontravariantní a naopak). Lze si ale také představit tenzorové pole k-tého řádu jako soubor n^k čísel, která se musí transformovat konzistentně se změnou souřadnicového systému na mateřské varietě. To ovšem platí pro tzv. tečná tenzorová pole (pole na tzv. tečných tenzorových bundlech, což jsou geometrické útvary, které lokálně odpovídají kartézskému součinu otevřeného okolí na mateřské varietě a patřičnému tenzorovému součinu tečného prostoru k varietě v daném bodě, v případě tenzorového pole druhého řádu tedy kartézskému součinu tohoto okolí a tenzorového součinu dvou těchto tečných prostorů). Zatím jsme se bavili o tzv. tečných tenzorových polích - máme-li např. normálové pole na kulové ploše, získáme jiný typ, kterému obecně odpovídá soubor m^k čísel, který již není vázán na trasformace souřadnic na mateřské varietě, ani na její dimenzi (např. Yang-Millsova pole jsou tohoto druhu, jsou to soubory čísel, která jsou svázána SU(N) symetrií, která je nezávislá na parametrizaci prostoročasu, na němž tato pole "žijí" - resp. je tam i tato závislost, protože jsou to formálně vektorová pole, ale není jediná).
Máte-li někdo názornější představu (mě teď napadají např. n-ády), přispějte.
Ahoj! Pavel
Kdyz se rekne vektorove pole, predstavim si, ze v kazdem bode prostoru, ktery je urcen nejakym vektorem, ma pole urcitou hodnotu. Ale v posledni dobe slychavam o polich tenzorovych a take (zvlaste v souvislosti se strunami) o polich skalarnich. Je nejaky zpusob, jak si toto predstavit? Priznam, ze mi da praci predstavit si i tenzor jako takovy.
Dalibore, on prednasel Gabriel v CR? :-) Zajimave. Tak nejak si ukoristil velky krajic v poli superstrunne kosmologie, aniz by neco prevratneho a presvedciveho z jeho skoly vzeslo (tim chci vyjadrit jen to, ze usili jeho skoly stoji nekde na periferii strunove fyziky). Ono toho v strunne kosmologii vubec moc nevzeslo. :-) Snad se vse brzy zmeni.
Jinak Pavle, co pises, je trochu nedorozumeni. Problem kosmologicke konstanty je ryze teoreticky problem - proc casticova fyzika generuje tak malou ci zadnou hustotu vakua. Inflacni kosmologie v zadnem smyslu neresi problem kosmologicke konstanty. Inflacni kosmologie musi predpokladat, ze koncovy stav, do ktereho vhodne (skalarni) pole (inflaton) nakonec sklouzne, ma minimum na nule (alespon priblizne), odpovidajici velmi male kosmologicke konstante. Potom z inflace plyne reseni problemu plochosti, tedy proc se zda evidentni, ze je vesmir plochy s tak ohromnou presnosti, tedy proc je hustota hmoty ve vesmiru tak presne rovna kriticke hustote. Zname Hubbleovu konstantu, udavajici okamzite tempo rozpinani vesmiru, a ze znalosti teto konstanty lze spocitat (nenulovou) hustotu, kterou vesmir musi mit, aby byl s velkou presnosti plochy, nebo ekvivalentne - aby byl presne na hranici mezi rekolapsem a vecnym rozpinanim. Opravdova hustota se velmi priblizuje teto kriticke hustote - a z experimentalnich mereni v roce 1998 fakticky vime dost spolehlive, ze asi 70% teto kriticke hustoty tvori kosmologicka konstanta (nebo forma hmoty, ktera se skoro presne stejne chova), zatimco 30% tvori "konvencni" hmota, vetsina z niz je skryta. Inflace ale nema nic spolecneho s (chybnou) predpovedi jakekoliv dnesni (nesupersymetricke) casticove teorie, podle niz by mel mit vesmir obri kosmologickou konstantu, ktera by mu nikdy neumoznila docilit tak velkeho a relativne plocheho tvaru; kosmologicka konstanta predpovidana normalnimi teoriemi je o desitky radu vetsi, nez kterou pozorujeme experimentalne a kterou je prijatelne dosadit jako vstupni udaj do inflacni kosmologie! Inflace resi problem plochosti, rozhodne vsak neresi problem kosmologicke konstanty.
Take nevim, proc si myslis, ze by se "dnesni teorie mely bez inflacni faze obejit". Naopak inflace je velmi moderni teorie, ktera ma respekt vetsiny kosmologu (tech moderne myslicich). Resi radu problemu, napriklad problem horizontu (proc je teplota reliktniho zareni tak homogenni, ackoliv podle stare kosmologie nebylo dost casu, aby doslo k tepelne rovnovaze). Take resi problem plochosti - v podstate, proc vypada vesmir tak plochy na tak velkych meritcich. Take vysvetluje, proc kolem sebe nepozorujeme prilis magnetickych monopolu (samotny jizni pol utrzeny z magnetu) a mnoho dalsich technickych otazek. Dobra teorie se vsim vsudy by dnes pokud mozno mela take umoznit nejaky scenar, ktery umozni inflaci nebo neco velmi podobneho: napriklad eru Veneziana a spol. "pred velkym treskem", kdy doslo podle jejich strunneho modelu k jiste odrude inflace, ktera ovsem z urciteho pohledu zacala jako kontrakce velmi plocheho a studeneho prostoru. Podle Veneziana, "teorie strun nabizi svoji odrudu inflace na stribrne mise".
Zdravi
Lubos